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弹性力学中心温习题及其谜底

发布时间:2020-01-11来源:环亚ag88国际厅手机版点击:96

  弹性力学重心温习题及其谜底_理化生_高中培育_培育专区。弹性力学重心温习题及其谜底 一、填空题 1、弹性力学讨论弹性体因为受表力效用、鸿沟管理或温度改换等缘故而产生的应力、 形变和位移。 2、正在弹性力学中规则,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负

  弹性力学重心温习题及其谜底 一、填空题 1、弹性力学讨论弹性体因为受表力效用、鸿沟管理或温度改换等缘故而产生的应力、 形变和位移。 2、正在弹性力学中规则,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规则相 合适。 3、正在弹性力学中规则,切应变以直角变幼时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相合适。 4、物体受表力往后,其内部将产生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和资料强 度直接相合的,是应力正在其效用截面的法线倾向和切线倾向的分量,也即是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。 5、弹性力学的根本假定为络续性、一律弹性、平均性、各向同性。 6、平面题目分为平面应力题目安适面应变题目。 7、已知一点处的应力分量 ? x ?100 MPa, ? y ?50 MPa, ? xy ?10 50 MPa,则主应力 ? 1 ? 150MPa,? 2 ? 0MPa,?1 ? 35?16? 。 8、已知一点处的应力分量, ? x ?200 MPa,? y ?0 MPa,? xy ??400 MPa,则主应力? 1 ? 512 MPa,? 2 ? -312 MPa,?1 ? -37°57′。 9、已知一点处的应力分量,? x ??2000 MPa,? y ?1000 MPa,? xy ??400 MPa,则主应力 ? 1 ? 1052 MPa,? 2 ? -2052 MPa,?1 ? -82°32′。 10、正在弹性力学里剖释题目,要思索静力学、几何学和物理学三方眼前提,诀别创造三 套方程。 11、示意应力分量与体力分量之间联系的方程为平均微分方程。 12、鸿沟前提示意鸿沟上位移与管理,或应力与面力之间的联系式。分为位移鸿沟前提、 应力鸿沟前提和搀和鸿沟前提。 13、按应力图解平面题目时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单位法开始将络续体变换成为离散化机合,然后再用机合力学位移法举办求解。 其全部环节分为单位剖释和满堂剖释两个人。 15、每个单位的位移普通老是包蕴着两个人:一个人是由本单位的形变惹起的,另一部 分是因为其他单位产生了形变而连带惹起的。 16、每个单位的应变普通老是包蕴着两个人:一个人是与该单位中各点的场所坐标相合 的,是各点欠好像的,即所谓变量应变;另一个人是与场所坐标无合的,是各点相 同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单位法得出精确的解答,位移形式必需能反响单位的刚体位移和常量 应变,还该当尽能够反响相邻单位的位移络续性。 18、为了使得单位内部的位移仍旧络续,必需把位移形式取为坐标的单值络续函数,为 了使得相邻单位的位移仍旧络续, 也能正在总共大家鸿沟上拥有好像的位移。 19、正在有限单位法中,单位的形函数 Ni 正在 i 结点 Ni=1;正在其他结点 Ni=0 及∑Ni=1。 20、为了普及有限单位法剖释的精度,普通可能采用两种步骤:一是将单位的尺寸减幼, 以便较好地反响位移和应力改变处境;二是采用包蕴更高次项的位移形式,使位移 和应力的精度普及。 二、剖断题(请正在精确命题后的括号内打“√”,正在舛讹命题后的括号内打“×”) 1、络续性假定是指总共物体的体积都被构成这个物体的介质所填满,不留下任何缝隙。 (√) 2、平均性假定是指总共物体的体积都被构成这个物体的介质所填满,不留下任何缝隙。 (×) 3、络续性假定是指总共物体是由统一资料构成的。(×) 4、平面应力题目与平面应变题目的物理方程是一律好像的。(×) 5、即使某一题目中,? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存正在平面应力分量? x ,? y ,? xy ,且它们不沿 z 倾向改变,仅为 x,y 的函数,此题目是平面应力题目。(√) 6、即使某一题目中, ? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存正在平面应变分量 ? x , ? y , ? xy ,且它们不沿 z 倾向改变,仅为 x,y 的函数,此题目是平面应变题目。(√) 7、示意应力分量与面力分量之间联系的方程为平均微分方程。(×) 8、示意位移分量与应力分量之间联系的方程为物理方程。(×) 9、当物体的形变分量一律确准时,位移分量却不行一律确定。(√) 10、当物体的位移分量一律确准时,形变分量即一律确定。(√) 11、按应力图解平面题目时常采用位移法和应力法。(×) 12、按应力图解平面题目,最终可能归结为求解一个应力函数。(×) 13、正在有限单位法中,结点力是指单位对结点的效用力。(×) 14、正在有限单位法中,结点力是指结点对单位的效用力。(√) 15、正在平面三结点三角形单位的大家鸿沟上应变和应力均有突变。(√ ) 三、简答题 1、简述资料力学和弹性力学正在讨论对象、讨论步骤方面的异同点。 正在讨论对象方面,资料力学根本上只讨论杆状构件,也即是长度宏伟于高度和宽度 的构件;而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较无误的剖释表,还对非杆状机合, 比如板和壳,以及挡土墙、堤坝、地基等实体机合加以讨论。 正在讨论步骤方面,资料力学讨论杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面 举办剖释以表,多半援用了少少合于构件的形变形态或应力散布的假定,这就大简化了 数学推演,然则,得出的解答往往是近似的。弹性力学讨论杆状构件,普通都不必援用 那些假定,于是得出的结果就较量无误,而且可能用来校核资料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的讨论步骤。 答:正在弹性体区域内部,思索静力学、几何学和物理学三方眼前提,诀别创造三套方程。 即遵循微分体的平均前提,创造平均微分方程;遵循微分线段上形变与位移之间的几何 联系,创造几何方程;遵循应力与形变之间的物理联系,创造物理方程。另表,正在弹性 体的鸿沟上还要创造鸿沟前提。正在给定面力的鸿沟上,遵循鸿沟上微分体的平均前提, 创造应力鸿沟前提;正在给定管理的鸿沟上,遵循鸿沟上的管理前提创造位移鸿沟前提。 求解弹性力常识题,即正在鸿沟前提下遵循平均微分方程、几何方程、物理方程求解应力 分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力何如示意?正负何如规则? 答:弹性力学中正应力用? 示意,并加上一个下标字母,标明这个正应力的效用面与作 用倾向;切应力用? 示意,并加上两个下标字母,前一个字母标明效用面笔直于哪一个 坐标轴,后一个字母标明效用倾向沿着哪一个坐标轴。并规则效用正在正面上的应力以沿 坐标轴正倾向为正,沿坐标轴负倾向为负。相反,效用正在负面上的应力以沿坐标轴负方 向为正,沿坐标轴正倾向为负。 4、简述平面应力题目与平面应变题目的区别。 答:平面应力题目是指很薄的等厚度薄板,只正在板边上受有平行于板面而且不沿厚度变 化的面力,同时,体力也平行于板面而且不沿厚度改变。对应的应力分量惟有? x ,? y , ? xy 。而平面应变题目是指很长的柱形体,正在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变 化的面力,同时体力也平行于横截面而且不沿长度改变,对应的位移分量惟有 u 和 v 5、简述圣维南道理。 即使把物体的一幼个人鸿沟上的面力,变换为散布区别但静力等效的面力(主矢 量好像,看待统一点的主矩也好像),那么,近处的应力散布将有明显的改换,然则远 场所受的影响可能不计。 6、简述按应力图解平面题目时的逆解法。 答:所谓逆解法,即是先设定各式花式的、满意相容方程的应力函数;并由应力分量与 应力函数之间的联系求得应力分量;然后再遵循应力鸿沟前提和弹性体的鸿沟样子,看 这些应力分量对应于鸿沟上什么样的面力,从而可能得知所采用的应力函数可能处理的 题目。 7、以三节点三角形单位为例,简述有限单位法求解离散化机合的全部环节。 (1)取三角形单位的结点位移为根本未知量。 (2)运用插值公式,由单位的结点位移求出单位的位移函数。 (3)运用几何方程,由单位的位移函数求出单位的应变。 (4)运用物理方程,由单位的应变求出单位的应力。 (5)运用虚功方程,由单位的应力出单位的结点力。 (6)运用虚功方程,将单位中的各式表力荷载向结点移置,求出单位的结点荷载。 (7)列出各结点的平均方程,构成总共机合的平均方程组。 8、为了保障有限单位法解答的收敛性,位移形式应满意哪些前提? 答:为了保障有限单位法解答的收敛性,位移形式应满意下列前提:(1)位移形式必需 能反响单位的刚体位移;(2)位移形式必需能反响单位的常量应变;(3)位移形式应尽 能够反响位移的络续性。 9、正在有限单位法中,为什么央求位移形式必需能反响单位的刚体位移? 每个单位的位移普通老是包蕴着两个人:一个人是由本单位的形变惹起的,另一部 分是本单位的形变无合的,即刚体位移,它是因为其他单位产生了形变而连带惹起的。 乃至正在弹性体的某些部位,比如正在亲近悬臂梁的自正在端处,单位的形变很幼,单位的位 移合键是因为其他单位产生形变而惹起的刚体位移。于是,为了精确反响单位的位移形 态,位移形式必需能反响该单位的刚体位移。 10、正在有限单位法中,为什么央求位移形式必需能反响单位的常量应变? 答:每个单位的应变普通老是包蕴着两个人:一个人是与该单位中各点的场所坐标相合 的,是各点欠好像的,即所谓变量应变;另一个人是与场所坐标无合的,是各点好像的, 即所谓常量应变。并且,当单位的尺寸较幼时,单位中各点的应变趋于相当,也即是单 元的应变趋于平均,于是常量应变就成为应变的合键个人。于是,为了精确反响单位的 形变形态,位移形式必需能反响该单位的常量应变。 11、正在平面三结点三角形单位中,能否采用如下的位移形式并解说源由: (1) u(x, y)??1 ?? 2 x 2 ?? 3 y , v(x, y)?? 4 ?? 5 x?? 6 y 2 (2) u(x, y)??1x 2 ?? 2 xy?? 3 y 2 , v(x, y)?? 4 x 2 ?? 5 xy?? 6 y 2 答:(1)不行采用。由于位移形式没有反响一齐的刚体位移和常量应变项;对坐标 x,y 错误等;正在单位鸿沟上的络续性前提也未能一律满意。 (2)不行采用。由于,位移形式没有反响刚体位移和常量应变项;正在单位鸿沟上 的络续性前提也不满意。 四、剖释估计题 1、试写出无体力处境下平面题目的应力分量存正在的需要前提,并思索下列平面题目的 应力分量是否能够正在弹性体中存正在。 (1)? x ?Ax?By ,? y ?Cx?Dy ,? xy ?Ex?Fy ; (2)? x ?A(x 2 ? y 2 ) ,? y ?B(x2 ?y2 ) ,? xy ?Cxy ; 个中,A,B,C,D,E,F 为常数。 解:应力分量存正在的需要前提是必需满意下列前提:(1)正在区域内的平均微分方程 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? x ?x ?? y ?y ? ? ?? yx ?y ?? xy ?x ?0 ?0 ;(2)正在区域内的相容方程 ???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ??? ? x ?? y ? ?0 ;(3)正在鸿沟上的应力 ? ? 鸿沟前提 ?? ? l? x ?m? yx ? ? ?? m? y ?l? xy ?f s ?f s x ?s? ;(4)看待多连体的位移单值前提。 y ?s? (1)此组应力分量满意相容方程。为了满意平均微分方程,必需 A=-F,D=-E。此 表还应满意应力鸿沟前提。 (2)为了满意相容方程,其系数必需满意 A+B=0;为了满意平均微分方程,其系 数必需满意 A=B=-C/2。上两式是冲突的,于是,此组应力分量不行够存正在。 2、已知应力分量? x ??Qxy 2 ?C1x3 ,? y ??23C2 xy2 ,? xy ??C2 y3 ?C3x2 y ,体力不计,Q 为 常数。试运用平均微分方程求系数 C1,C2,C3。 解:将所给应力分量代入平均微分方程 ? ?? ?? x ?x ? ?? yx ?y ?0 ? ? ?? y ?? ?y ? ?? xy ?x ?0 得 ??Qy ? 2 ?3C1 x 2 ?3C2 y 2 ?C3 x 2 ?0 ??3C2 xy?2C3 xy?0 即 由 x,y 的纵情性,得 ?????33CC12??C2C3 ?3x?2x?y??Q0?3C2 ?y 2 ?0 ?3C1 ?C3 ?0 ??Q?3C2 ?0 ??3C2 ?2C3 ?0 由此解得, C1 ?Q 6 , C2 ??Q 3 , C3 ?Q 2 3、已知应力分量? x ??q ,? y ??q ,? xy ?0 ,剖断该应力分量是否满意平均微分方程和 相容方程。 解:将已知应力分量? x ??q ,? y ??q ,? xy ?0 ,代入平均微分方程 ?? x ?x ? ?? yx ?y ? X ? ?0? ? ?? y ?y ? ?? xy ?x ?Y ?0 ? ? ?? 可知,已知应力分量? x ??q ,? y ??q ,? xy ?0 普通不满意平均微分方程,惟有体力纰漏 不计时才满意。 按应力图解平面应力题目的相容方程: ?2 ?y 2 (? x ??? y )? ?2 ?x 2 (? y ??? x )?2(1?? ) ? 2? xy ?x?y 将已知应力分量? x ??q ,? y ??q ,? xy ?0 代入上式,可知满意相容方程。 按应力图解平面应变题目的相容方程: ?2 ?y 2 (? x ?? 1?? ? y )? ? 2 ?x 2 (? y ?? 1?? ? x )? 2 1?? ? 2? xy ?x?y 将已知应力分量? x ??q ,? y ??q ,? xy ?0 代入上式,可知满意相容方程。 4、试写出平面题目的应变分量存正在的需要前提,并思索下列平面题目的应变分量是否 能够存正在。 (1) ? x ?Axy , ? y ?By3 , ? xy ?C?Dy2 ; (2) ? x ? Ay 2 , ? y ?Bx2 y , ? xy ?Cxy ; (3) ? x ?0 , ? y ?0 , ? xy ?Cxy ; 个中,A,B,C,D 为常数。 解:应变分量存正在的需要前提是满意形变妥洽前提,即 ? 2? x ? 2? ? y ? 2? ? xy ?y 2 ?x2 ?x?y 将以上应变分量代入上面的形变妥洽方程,可知: (1)相容。 (2) 2A?2By?C (1 分);这组应力分量若存正在,则须满意:B=0,2A=C。 (3)0=C;这组应力分量若存正在,则须满意:C=0,则 ? x ?0 ,? y ?0 ,? xy ?0(1 分)。 5、表明应力函数 ??by2 能满意相容方程,并查核正在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么题目(体力不计, b?0 )。 O l/2 l/2 y h/2 x h/2 解:将应力函数??by2 代入相容方程 ? 4? ? 4? ? 4? ?2 ? ?0 ?x4 ?x2?y 2 ?y 4 可知,所给应力函数??by2 能满意相容方程。 因为不计体力,对应的应力分量为 ? x ? ? 2? ?y 2 ?2b , ? y ? ? 2? ?x 2 ?0 , ? xy ?? ? 2? ?x?y ?0 看待图示的矩形板和坐标系,当板内产生上述应力时,遵循鸿沟前提,上下驾御四 个边上的面力诀别为: 上边, y?? h 2 , l?0 , m??1, fx ??(? ) xy y?? h 2 ?0 , fy ??(? )y y?? h 2 ?0 ; 下边, y?h 2 , l?0 , m?1, fx ?(? ) xy y? h 2 ?0 , f y ?(? y ) y?h 2 ?0 ; 左边, x?? l 2 , l??1, m?0 , f x ??(? x ) x?? l 2 ??2b , fy ??(? ) xy x?? l 2 ?0 ; 右边, x? l 2 , l?1, m?0 , f x ?(? )x x? l 2 ?2b , f y ?(? xy ) x? l 2 ?0 。 可见,上下双方没有面力,而驾御双方诀别受有向左和向右的均布面力 2b。于是, 应力函数??by2 能处理矩形板正在 x 倾向受均布拉力(b0)和均布压力(b0)的题目。 6、表明应力函数??axy 能满意相容方程,并查核正在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么题目(体力不计, a?0 )。 O l/2 l/2 h/2 x h/2 y 解:将应力函数??axy 代入相容方程 ? 4? ?2 ? 4? ?? 4? ?0 ?x4 ?x2?y 2 ?y 4 可知,所给应力函数??axy 能满意相容方程。 因为不计体力,对应的应力分量为 ? x ? ? 2? ?y 2 ?0 , ? y ? ? 2? ?x 2 ?0 ,? xy ?? ? 2? ?x?y ??a 看待图示的矩形板和坐标系,当板内产生上述应力时,遵循鸿沟前提,上下驾御四 个边上的面力诀别为: 上边, y?? h 2 , l?0 , m??1, fx ??(? ) xy y?? h 2 ?a , fy ??(? )y y?? h 2 ?0 ; 下边, y?h 2 , l?0 , m?1, fx ?(? ) xy y? h 2 ??a , f y ?(? y ) y?h 2 ?0 ; 左边, x?? l 2 , l??1, m?0 , f x ??(? )x x?? l 2 ?0 , fy ??(? ) xy x?? l 2 ?a ; 右边, x? l 2 , l?1, m?0 , f x ?(? )x x? l 2 ?0 , f y ?(? xy ) x? l 2 ??a 。 可见,正在驾御双方诀别受有向下和向上的均布面力 a,而正在上下双方诀别受有向右 和向左的均布面力 a。于是,应力函数??axy 能处理矩形板受均布剪力的题目。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为 ? ,正在一边侧面上受均布剪力,试求应力分 量。 O b x 解:遵循机合的特性和受力处境,可能假定纵向纤维互不挤压, 即设? x ?0 。由此可知 ?g q ? x ? ? 2? ?y 2 ?0 将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式 ??x,y?? f1(x) y? f2 (x) 将上式代入应力函数所应满意的相容方程则可得 y y d 4 f1 (x) ? d 4 f 2 (x) ?0 dx4 dx4 这是 y 的线性方程,但相容方程央求它有多数多的解(全柱内的 y 值都应当满意它), 可见它的系数和自正在项都应当等于零,即 d 4 f1 (x) ?0 , dx 4 d 4 f 2 (x) ?0 dx4 这两个方程央求 f1 (x)?Ax 3 ?Bx 2 ?Cx?I , f 2 (x)?Dx 3 ?Ex 2 ?Jx?K 代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得 ?? y( Ax3 ?Bx 2 ?Cx)?Dx 3 ?Ex 2 对应应力分量为 ? x ? ? 2? ?y 2 ?0 ? y ? ? 2? ?x 2 ? y (6 Ax?2B)?6 Dx ?2 E ??gy ? xy ?? ? 2? ?x?y ??3 Ax 2 ?2 Bx ?C 以上常数可能遵循鸿沟前提确定。 左边, x?0, l??1, m?0 ,沿 y 倾向无面力,因而有 ?(? xy ) x?0 ?C?0 右边, x?b , l?1, m?0 ,沿 y 倾向的面力为 q,因而有 (? xy )x?b ??3Ab2 ?2Bb?q 上边, y?0 , l?0 , m??1,没有程度面力,这就央求? xy 正在这个人鸿沟上合成的主 矢量和主矩均为零,即 b ?0 (? xy ) y?0 dx?0 将? xy 的表达式代入,并思索到 C=0,则有 ?b (?3 Ax 2 ?2 Bx)dx?? Ax 3 ?Bx 2 0 b 0 ?? Ab 3 ?Bb 2 ?0 ? 而 b (? 0 x y ) y ?0 ?0dx?0 天然满意。又因为正在这个人鸿沟上没有笔直面力,这就央求 ? y 正在这部 分鸿沟上合成的主矢量和主矩均为零,即 ?b (? 0 y ) y?0 dx?0 , b ?0 (? y ) y?0 x d ?x0 将? y 的表达式代入,则有 由此可得 ?b (6 Dx ?2 E )dx?3Dx 0 2 ?2Ex b 0 ?3Db 2 ?2Eb?0 ?b (6 Dx ?2 E ) xdx?2Dx 3 ? Ex 2 0 b 0 ?2Db 3 ? Eb 2 ?0 A?? q b2 , B?q b , C?0 , E ?0 应力分量为 ? x ?0 , ? y ?2q y b ??1?3 x ?b ??? ? ?gy , ? x y ?q x b ?? ? 3 x b ?2 ?? ? 固然上述结果并不厉苛满意上端面处(y=0)的鸿沟前提,但遵从圣维南道理,正在稍远 离 y=0 处这一结果应是实用的。 8、表明:即使体力分量固然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可能示意为 f x ?? ?V ?x , f y ?? ?V ?y ,个中 V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数示意为, ? x ? 2? ? ?y 2 ?V ,? y ? 2? ? ?x 2 ?V ,? xy ?? ? 2? ?x?y ,试导出相应的相容方程。 表明:正在体力为有实力的处境下,按应力图解应力鸿沟题目时,应力分量? x ,? y ,? xy 该当满意平均微分方程 还应满意相容方程 ? ? ? ? ? ?? ?? x ?x ?? y ?y ? ? ?? yx ?y ?? xy ?x ? ? ?V ?x ?V ?y ?0 ?0 (1 分) ? ? ???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ? ?? ? x ?? y ? ???1?? ????? ?f x ?x ? ?f y ?y ???? (看待平面应力题目) ? ? ???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ? ?? ? x ?? y ? ?? 1 1?? ???? ?f x ?x ??f y ?y ???? (看待平面应变题目) 并正在鸿沟上满意应力鸿沟前提(1 分)。看待多连体,有时还必需思索位移单值前提。 开始查核平均微分方程。将其改写为 ? ? ? ? ?x ?? x ?V ?? ?? yx ?y ?0 ? ? ? ?? ???y ? y ?V ? ?? xy ?x ?0 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将个中第一个方程改写为 ? ? ? ?? ?x x ?V ?? ? ?y ?? yx 遵循微分方程表面,必定存正在某一函数 A(x,y),使得 ? x ?V ? ?A ?y , ?? yx ? ?A ?x 同样,将第二个方程改写为 ? ?y ?? y ?V ?? ? ?x ??? yx ?(1 分) 可见也必定存正在某一函数 B(x,y),使得 ? y ?V ? ?B ?x , ?? yx ? ?B ?y 由此得 ?A ? ?B ?x ?y 于是又必定存正在某一函数 ? ?x, y ? ,使得 A??? , B??? ?y ?x 代入以上各式,得应力分量 ? x ?? 2? ?y 2 ?V ,? y ?? 2? ?x 2 ?V ,? xy ? 2? ?? ?x?y 为了使上述应力分量能同量满意相容方程,应力函数 ? ?x, y ? 必需满意必定的方程, 将上述应力分量代入平面应力题目的相容方程,得 ???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ???????? ? 2? ?y 2 ?V ?? 2? ?x 2 ?V ??????1?? ????? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ????V 简写为 ???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ???????? ? 2? ?y 2 ?? 2? ?x 2 ??????2???? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ????V ??1?? ????? ?2 ?x 2 ? ?2 ?y 2 ????V ? 4? ??(1?? )? 2V 将上述应力分量代入平面应变题目的相容方程,得 ???? ?2 ?x 2 ?2 ? ?y 2 ???????? ? 2? ?y 2 ?V ? 2? ? ?x 2 ?V ?????1?1? ???? ?2 ?x 2 ?2 ? ?y 2 ????V 简写为 ???? ?2 ?x 2 ?2 ? ?y 2 ???????? ? 2? ?y 2 ? 2? ? ?x 2 ??????2???? ?2 ?x 2 ?2 ? ?y 2 ????V ?1 1?? ???? ?2 ?x 2 ?2 ? ?y 2 ????V ?4???1?2? ?2V 1?? 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力效用,而梁的密度为 ? ,试用纯三次的应力函数求 解。 O x ?? ?g y 解:纯三次的应力函数为 ??ax3 ?bx2 y?cxy 2 ?dy3 相应的应力分量表达式为 ? x ? ? 2? ?y 2 ?xf x ?2cx?6dy , ? y ? ? 2? ?x 2 ? yf y ?6ax?2by??gy , ? xy ?? ? 2? ?x?y ??2bx?2cy 这些应力分量是满意平均微分方程和相容方程的。现正在来查核,即使妥当采取各个系数, 是否能满意应力鸿沟前提。 上边, y?0 , l?0 , m??1,没有程度面力,因而有 ?(? xy ) y?0 ?2bx?0 对上端面的纵情 x 值都应创办,可见 b ?0 同时,该鸿沟上没有竖直面力,因而有 ?(? y ) y?0 ?6ax?0 对上端面的纵情 x 值都应创办,可见 a ?0 于是,应力分量可能简化为 ? x ?2cx?6dy ,? y ???gy ,? xy ??2cy 斜面, y?xtan? , l?cos??????? ? 2 ?? ????????sin? , m?cos??? ??cos? ,没有面力,因而有 由第一个方程,得 ? ? ?? l? x ?m? yx ?0 y ? x ta n? ? ? ? ?? m? y ?l? xy ?0 y ? x ta n? ??2cx?6dxtan? ?sin??2cxtan?cos???4cxsin??6dxtan?sin??0 对斜面的纵情 x 值都应创办,这就央求 ?4c?6d tan? ?0 由第二个方程,得 2cxtan? sin? ??gxtan? c os? ?2cxtan? sin? ??gxsin? ?0 对斜面的纵情 x 值都应创办,这就央求 2ctan???g?0 (1 分) 由此解得 从而应力分量为 c?1 ?gcot? (1 分), d ??1?gcot2? 2 3 ? x ??gxcot? ?2?gycot 2? , ? y ???gy , ? xy ???gycot? 设三角形悬臂梁的长为 l,高为 h,则 tan? ?h 。遵循力的平均,固定端对梁的管理 l 反力沿 x 倾向的分量为 0,沿 y 倾向的分量为 ?1 ?glh 。于是,所求? 2 x 正在这个人鸿沟上 合成的主矢应为零, ? xy 该当合成为反力 ? 1 2 ?glh 。 ? ? ? ? h?? 0 x ? dy? x?l h 0 ?glcot? ?2?gycot 2? dy??glhcot? ??gh2 cot 2? ?0 ? ? ? ? h ? 0 xy dy? h???gycot? ?dy??1 ?gh2 cot? ??1 ?glh x?l 0 2 2 可见,所求应力分量满意梁固定端的鸿沟前提。 10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角? ,下端动作无尽长,担当重 力及液体压力,楔形体的密度为 ?1 ,液体的密度为 ? 2 ,试求应力分量。 O x 解:采用半逆解法。开始运用量纲剖释步骤来假设应力 ?? 分量的函数花式。取坐标轴如图所示。正在楔形体的纵情 一点,每一个应力分量都将由两个人构成:一个人由重 ?2g? ?1g? 力惹起,该当与 ?1g 成正比(g 是重力加快率);另一 个人由液体压力惹起,该当与 ? 2g 成正比。另表,每一 y 个人还与? ,x,y 相合。因为应力的量纲是 L-1MT-2, ?1g 和 ? 2g 的量纲是 L-2MT-2,? 是量纲一的 量,而 x 和 y 的量纲是 L,于是,即使应力分量拥有多项式的解答,那么它们的表达式 只能够是 A?1gx , B?1gy ,C?2 gx , D?2 gy 四项的组合,而个中的 A,B,C,D 是量纲 一的量,只与? 相合。这即是说,各应力分量的表达式只能够是 x 和 y 的纯一次式。 其次,由应力函数与应力分量的联系式可知,应力函数比应力分量的长胸襟纲高二 次,应当是 x 和 y 纯三次式,于是,假设 ??ax3 ?bx2 y?cxy 2 ?dy3 相应的应力分量表达式为 ? x ? ? 2? ?y 2 ?xf x ?2cx?6dy , ? y ? ? 2? ?x 2 ? yf y ?6ax?2by? ? 1gy , ? xy ?? ? 2? ?x?y ??2bx?2cy 这些应力分量是满意平均微分方程和相容方程的。现正在来查核,即使妥当采取各个系数, 是否能满意应力鸿沟前提。 左面, x?0, l??1, m?0 ,效用有程度面力 ?2 gy ,因而有 ?(? x ) x?0 ??6dy??2 gy 对左面的纵情 y 值都应创办,可见 d ?? ?2 g 6 同时,该鸿沟上没有竖直面力,因而有 ?(? xy ) x?0 ?2cy?0 对左面的纵情 y 值都应创办,可见 c ?0 于是,应力分量可能简化为 ? x ???2 gy ,? y ?6ax?2by?? 1gy ,? xy ??2bx 斜面, x?ytan? , l?cos? , m?cos?? ? ?? ????sin? ,没有面力,因而有 ?2 ? 由第一个方程,得 ? ? ?? l? x ?m? yx ?0 x? ytan? ? ? ? ?? m? y ?l? xy ?0 x? ytan? ??2 gycos? ?2bytan?sin??0 对斜面的纵情 y 值都应创办,这就央求 由第二个方程,得 ??2 gcos? ?2btan?sin? ?0 ??6aytan??2by??1gy?sin??2bytan?cos????6atan?sin??4bsin???1gsin? ?y?0 对斜面的纵情 x 值都应创办,这就央求 由此解得 从而应力分量为 ?6atan? ?4b??1g?0 a? 1 6 ?1 g c ot? ?1 3 ? 2 g c ot3? , b? 1 2 ? 2 g c ot2 ? ? ? ? ? ? x ???2 gy , ? y ? ?1gcot??2?2 gcot3? x? ?2 gcot2???1g y , ? xy ???2 gxcot2?

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